Fun: Les insectes proliférateurs
Petit problème de maths, paru dans Le Monde il y a quelques années:
Coccinelle
Une population d’insectes a un rythme de croissance effrayant: au 1er janvier 2004, elle comptait 2 004 individus. Au 2 janvier, ce nombre était de 4009 (le double plus un). Au 3 janvier, il était de 12028 (le triple du nombre précédent, plus un).
Chaque jour de janvier, la population se révèle être celle de la veille multipliée par le quantième du mois et augmentée de 1.
En février, le principe est le même, mais avec un accroissement de deux unités au lieu d’une ainsi la population du 1er février est celle du 31 janvier augmentée de deux, la population du 2 février équivaut au double de celle du 1er février plus deux, et ainsi de suite jusqu’au 29 février, où elle est égale à 29 fois celle du 28 février plus deux.
En mars, même principe, mais on ajoute 3, en avril on ajoute 4, etc. En décembre, on ajoute 12.
Ces insectes ont l’habitude de voler en formations de 13 individus.
Quand leur nombre n’est pas un multiple de 13, ils s’arrangent pour que le nombre d’insectes isolés soit le plus petit possible.
Combien d’insectes seront ils isolés au soir du 31 décembre 2004 ?
Notons d’abord que les multiplications par 27, 28, 29, 30 et 31
reviennent modulo 13 à des multiplications par 1, 2, 3, 4 et 5.
Par ailleurs ajouter 12 revient à soustraire 1.
On a donc les résultats suivants, modulo 13.
Le 26 : 12
Le 27 : 12×1 – 1 = 11
Le 28 : 11×2 – 1 = 21 = 8
Le 29 : 8×3 – 1 = 23 = 10
Le 30 : 10×4 – 1 = 39 = 0
Le 31 : 0×5 + 12 = 12
C.Q.F.D.
Le 26 décembre 2004, leur nombre était un multiple de 26, plus 12 (donc un multiple de 13, plus 12). Il ne devrait pas être très difficile de compter ce qui se passe modulo treize pour les cinq jours restants.